B ) Bewegende Gemiddelde Modelle

2.1 bewegende gemiddelde modelle (MA modelle) Tydreeksmodelle bekend as ARIMA modelle kan die volgende insluit outoregressiewe terme en / of bewegende gemiddelde terme. In Week 1, het ons geleer 'n outoregressiewe term in 'n tydreeks model vir die veranderlike x t is 'n vertraagde waarde van x t. Byvoorbeeld, 'n lag 1 outoregressiewe termyn is x t-1 (vermenigvuldig met 'n koëffisiënt). Hierdie les definieer bewegende gemiddelde terme. 'N bewegende gemiddelde termyn in 'n tydreeks model is 'n verlede fout (vermenigvuldig met 'n koëffisiënt). Laat \ (w_t \ omslaan N (0, \ sigma ^ 2_w) \), wat beteken dat die w t is identies, onafhanklik versprei, elk met 'n normaalverdeling met gemiddelde 0 en dieselfde afwyking. Die 1 ste orde bewegende gemiddelde model, aangedui deur MA (1) is \ (X_t = \ mu + w_t + \ theta_1w_ \) Die 2de orde bewegende gemiddelde model, aangedui deur MA (2) is \ (X_t = \ mu + w_t + \ theta_1w_ + \ theta_2w_ \) Die Q de orde bewegende gemiddelde model, aangedui deur MA (Q) is \ (X_t = \ mu + w_t + \ theta_1w_ + \ theta_2w_ + \ kolle + \ theta_qw_ \) Let. Baie handboeke en sagteware programme definieer die model met negatiewe tekens voor die θ terme. Dit beteken nie die algemene teoretiese eienskappe van die model verander, hoewel dit flip die algebraïese tekens van beraamde koëffisiënt waardes en (unsquared) θ terme in formules vir ACFs en afwykings. Jy moet jou sagteware kyk om te kontroleer of negatiewe of positiewe tekens is gebruik om korrek te skryf die beraamde model. R gebruik positiewe tekens in sy onderliggende model, soos ons hier doen. Teoretiese Eienskappe van 'n tydreeks met 'n MA (1) Model Beteken is E (x t) = μ Afwyking is Var (x t) = σ w 2 (1 + θ 1 2) Outokorrelasie funksie (ACF) is \ [\ Rho_1 = \ frac \ teks \ rho_h = 0 \ teks h \ ge 2 \] Let daarop dat die enigste nie-nul waarde in die teoretiese ACF is vir lag 1. Alle ander outokorrelasies is 0. So 'n monster ACF met 'n beduidende outokorrelasie net by lag 1 is 'n aanduiding van 'n moontlike MA (1) model. Vir belangstellende studente, bewyse van hierdie eienskappe is 'n bylae tot hierdie opdragstuk. Voorbeeld 1 Veronderstel dat 'n MA (1) model is x t = 10 + w t + 0,7 w t-1. waar \ (w_t \ omslaan N (0,1) \). So het die koëffisiënt θ 1 = 0,7. Die teoretiese ACF gegee word deur \ [\ Rho_1 = \ frac = 0,4698, \ teks \ rho_h = 0 \ teks h \ ge 2 \] 'N plot van hierdie ACF volg. Die plot net aangedui is die teoretiese ACF vir 'n MA (1) met θ 1 = 0,7. In die praktyk sal 'n monster nie gewoonlik verskaf so 'n duidelike patroon. Die gebruik van R, ons gesimuleerde N = 100 monster waardes gebruik te maak van die model x t = 10 + w t + 0,7 w t-1 waar w t IID N (0,1). Vir hierdie simulasie, 'n tydreeks plot van die steekproefdata volg. Ons kan nie veel van hierdie plot vertel. Die monster ACF vir die gesimuleerde data volg. Ons sien 'n "spike" by lag 1 gevolg deur die algemeen nie-beduidende waardes vir lags afgelope 1. Let daarop dat die monster ACF kom nie ooreen met die teoretiese patroon van die onderliggende MA (1), en dit is dat al outokorrelasies vir lags afgelope 1 sal wees 0. 'n ander voorbeeld sou 'n effens verskillende monster ACF hieronder getoon, maar sal waarskynlik dieselfde breë funksies. Theroretical Eienskappe van 'n tydreeks met 'n MA (2) Model Vir die MA (2) model, teoretiese eienskappe is soos volg: Let daarop dat die enigste nie-nul waardes in die teoretiese ACF is vir lags 1 en 2. outokorrelasies vir hoër lags is 0. Dus, 'n monster ACF met 'n beduidende outokorrelasies by lags 1 en 2, maar nie-beduidende outokorrelasies vir hoër lags dui op 'n moontlike MA (2) model. IID N (0,1). Die koëffisiënte is θ 1 = 0,5 en θ 2 = 0,3. Want dit is 'n MA (2), sal die teoretiese ACF nul waardes het net by lags 1 en 2. Waardes van die twee nie-nul outokorrelasies is 'N plot van die teoretiese ACF volg. Soos byna altyd die geval is, sal steekproefdata nie gedra nogal so perfek as teorie. Ons gesimuleerde N = 150 monster waardes vir die model x t = 10 + w t + 0,5 w t-1 + 0,3 w t-2. waar w t IID N (0,1). Die tydreekse plot van die data volg. Soos met die tydreeks plot vir die MA (1) voorbeeld van die data, kan jy nie veel van dit te vertel. Die monster ACF vir die gesimuleerde data volg. Die patroon is tipies vir situasies waar 'n MA (2) model nuttig kan wees. Daar is twee statisties beduidende "are" by lags 1 en 2, gevolg deur nie-beduidende waardes vir ander lags. Let daarop dat as gevolg van steekproeffout, die monster ACF nie die teoretiese patroon presies ooreenstem. ACF vir Algemene MA (Q) Models 'N eiendom van MA (Q) modelle in die algemeen is dat daar nie-nul outokorrelasies vir die eerste Q lags en outokorrelasies = 0 vir alle lags & gt; q. Nie-uniekheid van verband tussen waardes van θ 1 en \ (\ rho_1 \) in MA (1) Model. In die MA (1) model, vir enige waarde van θ 1. die wedersydse 1 / θ 1 gee dieselfde waarde vir As 'n voorbeeld, gebruik 0,5 vir θ 1. en gebruik dan 1 / (0.5) = 2 vir θ 1. Jy kry \ (\ rho_1 \) = 0.4 in beide gevalle. Om 'n teoretiese beperking genoem inverteerbaarheid bevredig. Ons beperk MA (1) modelle om waardes met absolute waarde minder as 1. In die voorbeeld net gegee, θ 1 het = 0.5 sal 'n toelaatbare parameter waarde wees, terwyl θ 1 = 1 / 0.5 = 2 nie. Inverteerbaarheid van MA modelle 'N MA-model word gesê omkeerbare te wees indien dit algebraïes gelykstaande aan 'n konvergerende oneindige orde AR model. Bevestig deur die, bedoel ons dat die AR koëffisiënte daal tot 0 as ons terug beweeg in die tyd. Inverteerbaarheid is 'n beperking geprogrammeer in die tyd reeks sagteware wat gebruik word om die koëffisiënte van modelle te skat met MA terme. Dit is nie iets wat ons gaan vir die data-analise. Bykomende inligting oor die inverteerbaarheid beperking vir MA (1) modelle word in die bylaag. Gevorderde teorie Nota. Vir 'n MA (Q) model met 'n bepaalde ACF, daar is net een omkeerbare model. Die noodsaaklike voorwaarde vir inverteerbaarheid is dat die θ koëffisiënte waardes sodanig dat die vergelyking 1-θ 1 y. - Θ q y q = 0 het oplossings vir y wat buite die eenheidsirkel val. R-kode vir die Voorbeelde In Voorbeeld 1, ons geplot die teoretiese ACF van die model x t = 10 + w t +. 7W t-1. en dan nageboots N = 150 waardes van hierdie model en geplot die monster tydreekse en die monster ACF vir die gesimuleerde data. Die R bevele gebruik word om die teoretiese ACF plot was soos volg: acfma1 = ARMAacf (MA = c (0,7), lag. max = 10) # 10 lags van ACF vir MA (1) met theta1 = 0,7 lags = 0: 10 #creates n veranderlike genaamd lags wat wissel van 0 tot 10. plot (lags, acfma1, xlim = c (1,10), ylab = "r", type = "h", hoof = "ACF vir MA (1) met theta1 = 0.7") abline (h = 0) #adds n horisontale as om die plot Die eerste opdrag bepaal die ACF en slaan dit in 'n voorwerp genoem acfma1 (ons keuse van naam). Die plot opdrag (die 3de gebod) erwe lags teenoor die ACF waardes vir lags 1 tot 10. Die ylab parameter etikette die y-as en die "hoof" parameter sit 'n titel op die plot. Om te sien die numeriese waardes van die ACF net gebruik die opdrag acfma1. Die simulasie en erwe is gedoen met die volgende opdragte. xc = arima. sim (N = 150, lys (MA = c (0,7))) #Simulates N = 150 waardes van MA (1) x = XC +10 # voeg 10 tot gemiddelde = 10. Simulasie gebreke maak beteken = 0. plot (x, type = "b", hoof = "Gesimuleerde MA (1) data") ACF (x, xlim = c (1,10), hoof = "ACF vir gesimuleerde steekproefdata") In Voorbeeld 2, ons geplot die teoretiese ACF van die model x t = 10 + w t + 0,5 w t-1 + 0,3 w t-2. en dan nageboots N = 150 waardes van hierdie model en geplot die monster tydreekse en die monster ACF vir die gesimuleerde data. Die R bevele gebruik was acfma2 = ARMAacf (MA = c (0.5,0.3), lag. max = 10) Op bewegende gemiddelde modelle met terugvoer Bewegende gemiddelde modelle, lineêre of nie-lineêre, word gekenmerk deur hul kort geheue. Hierdie vraestel dui daarop dat, in die teenwoordigheid van terugvoer in die dinamika, kan die bogenoemde eienskap verdwyn. Eerste beskikbaar in Projek Euclides: 16 April 2012 Wiskundige Resensies nommer (MathSciNet) Zentral Blatt MATH identifiseerder uitvoer aanhaling [3] Chan, K. S. Petruccelli, J. D. Tong, H. en Woolford, S. W. (1985). 'N meervoudige drumpel AR (1) model. J. Appl. Probab. 22 267 & # x2013; 279. Wiskundige Resensies (MathSciNet): MR789351 Wiskundige Resensies (MathSciNet): MR2307400